Với một hệ trực chuẩn hoàn chỉnh, { e i   |   i ∈ N } {\displaystyle \{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}} trong không gian Hilbert, tương ứng với định mức từ tích trong ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } . Từ giải tích hàm cơ bản bất cứ ket |ψ⟩ nào cũng có thể viết được dưới dạng:

| ψ ⟩ = ∑ i ∈ N ⟨ e i | ψ ⟩ | e i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle }

Từ tính chất giao hoán của ket với phép nhân vô hướng số phức:

∑ i ∈ N | e i ⟩ ⟨ e i | = 1 ^ {\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|={\hat {1}}}

là một toán tử đơn vị biến mỗi vector về chính nó. Toán tử này có thể thêm vào bất kỳ biểu thức nào mà không gây ảnh hưởng gì:

⟨ v | w ⟩ = ⟨ v | ∑ i ∈ N | e i ⟩ ⟨ e i | w ⟩ = ⟨ v | ∑ i ∈ N | e i ⟩ ⟨ e i | ∑ j ∈ N | e j ⟩ ⟨ e j | w ⟩ = ⟨ v | e i ⟩ ⟨ e i | e j ⟩ ⟨ e j | w ⟩ {\displaystyle \langle v|w\rangle =\langle v|\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|w\rangle =\langle v|\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle =\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle }

biến đổi cuối cùng dựa vào quy ước tổng Einstein.

Trong cơ học lượng tử, toán tử đơn vị sẽ giúp ích khi hoàn toàn không có manh mối nào về tích trong ⟨ ψ | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle } nhưng lại có thông tin về các hệ số khai triển ⟨ ψ | e i ⟩ = ⟨ e i | ψ ⟩ ∗ {\displaystyle \langle \psi |e_{i}\rangle =\langle e_{i}|\psi \rangle ^{*}} và ⟨ e i | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle e_{i}|\phi \rangle } của những vector đó trong hệ cơ sở trực chuẩn nhất định. Trong trường hợp này, việc thêm toán tử đơn vị vào biểu thức một hay nhiều lần sẽ hữu ích hơn.

Một chú ý nhỏ nữa, là có thể biểu diễn (x là tọa độ còn p là động lượng)

1 = ∫ dx |x⟩⟨x| = ∫ dp |p⟩⟨p| với |p⟩ = ∫ dx eixp/ħ|x⟩/√2πħ (vì ⟨x′|x⟩ = δ(x − x′))

suy ra ⟨x|p⟩ = exp(ixp/ħ)/√2πħ.